VALOR ABSOLUTO
En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo,
sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El
concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros
objetos matemáticos, como son los cuaternarios, anillos ordenados, cuerpos o espacios
vectoriales.
Valor Absoluto De
Un Número Real
Formalmente, el valor
absoluto o módulo de todo número real A está definido por:
Por definición, el valor absoluto de A siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de
un número real 
es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de
la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el
concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del
valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de
la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el
concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del
valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
La función valor absoluto una función continua definida por
trozos.
Propiedades Fundamentales
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No negatividad
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Definición
positiva
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Propiedad multiplicativa
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Desigualdad triangular
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Otras Propiedades
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Simetría
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Identidad de indiscernibles
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Desigualdad triangular
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Preservación de la división
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Otras dos útiles inecuaciones son:
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
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El conjunto de los
reales con la norma definida por el valor absoluto
es un espacio de
Banach.
Valor Absoluto De
Un Número Complejo
El valor absoluto
de un número complejo Z es la distancia R desde Z al origen. Aquí vemos que Z y su conjugado Z tienen el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto
ordenado en el sentido de los
reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la
siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente
para el valor absoluto:
De esta manera, dado cualquier número complejo de la
forma:
Con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está
definido formalmente por:
Como los números complejos son una generalización de los
números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de
esta forma:
De modo similar a la interpretación geométrica del valor
absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de
Pitágoras que el valor absoluto de
un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que
el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la
distancia entre ellos.
Propiedades
El valor absoluto de los complejos comparte todas las
propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si
Y
Es el conjugado de z, entonces se verifica que:
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera
identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números
reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de
multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
VALOR ABSOLUTO
1. Representa las funciones en valor absoluto
·
f(x) = |x − 2|
D=
D=
·
f(x) = |x² − 4x + 3|
X² −4x + 3 =
0 x = 1 x = 3
EJERCICIOS PARA RESOLVER
VALOR ABSOLUTO
1.
f(x) = |−x² + 5x − 4|
2.
f(x) = |x| − x
3.
f(x) = |x| / x
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