INECUACIONES

 INECUACIONES

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o > se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

·         Ejemplo de inecuación incondicional:  .

·         Ejemplo de inecuación condicional:  .

 Clasificación    

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo:

• 

• • 
    
  • 
    
        

·         De dos incógnitas. Ejemplo: 

·         De tres incógnitas. Ejemplo: 

Según la potencia de la incógnita,

·         De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: 

·         De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: 

·         De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: 

Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.

Inecuaciones De Segundo Grado Con Una Incógnita    

Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

• 

  

• 

• 

• 

Sistema De Inecuaciones  

         

La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un sistema de inecuaciones.

En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Sistema De Inecuaciones De Primer Grado Con Una Incógnita

Es un conjunto de inecuaciones de primer grado con la misma variable:

La solución del sistema será el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones.

EJERCICIOS DESARROLLADOS INECUACIONES

1.    Resolver las siguientes inecuaciones

• 

   (1, ∞)

• 

• 

2.    Resuelve el sistema:

(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)

10x + 10 + x ≤ 12 x + 6

10 x + x - 12x ≤ 6 - 10

−x ≤ − 4       x ≥ 4

[4, 7)

3.    Resolver las inecuaciones:

·      7x² + 21x − 28 < 0

x² +3x − 4 < 0

x² +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)² +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 0² +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3² +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

·      −x² + 4x − 7 < 0

x² − 4x + 7 = 0

P(0) = −0² + 4 ·0 − 7 < 0

S = 

• 

      

P(−3) = 4 · (−3)² − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 ² − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 ² − 16 > 0

(-∞ , −2 ]  [2, +∞)

EJERCICIOS PARA RESOLVER INECUACIONES

1.    Resuelve:

•    

·      x⁴ − 25x² + 144 < 0

·      x⁴ − 16x² − 225 ≥ 0

2.    Resolver las inecuaciones:

• 

•