CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Una idea
intuitiva de función continua se tiene al considerar que su
gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz
de la hoja de papel.
Continuidad De Una Función En Un
Punto
Se dice que una función f(x) es continua en un
punto x
= así y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x = a tenga
imagen.
2. Que exista el límite de la
función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto
coincida con el límite de la función en el punto.
Ejemplo
Estudiar
la continuidad de en x = 2
1. La función tiene imagen en x =
2.
f(2)= 4
2. La función tiene límite en x =
2 porque coinciden los límites laterales.
3. En x = 2 la imagen coincide con
el límite
En la
gráfica podemos comprobar que es continua.
Continuidad Por La Izquierda
Una
función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = así:
Continuidad Por La Derecha
Una
función f(x) es continua por la derecha en el punto x = así:
Función Continua
Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda
y es continua por la derecha:
Las
funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales,
logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su
dominio.
La función es continua en  − {3}. En x = 3 no es continua porque
no está definida.
Funciones Definidas A Trozos
Las funciones definidas a trozos
son continuas si cada función lo
es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de
los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
La función es continua en
Porque las funciones que la
componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división
coinciden.
Operaciones
con funciones continuas
Si f y g son continuas en x = a, entonces:
f + g es continua en x = a.
F · g es continua en x = a.
F / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
F ο g es continua en x = a.
Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto.
La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.
La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, ya que no coinciden los límites laterales.
La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
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