FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp (x), donde E es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

Propiedades De La Función Exponencial

·      Dominio: R

·      Recorrido: R +

·      Es continua.

·      Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

·      Es inyectiva  A a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

·      Creciente si a >1.

·      Decreciente si a < 1.

·      Las curvas y = a^x e y = (1/a)^x  son simétricas respecto del eje OY.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

      

x	y = 2x
-3	1/8
-2	1/4
-1	1/2
0	1
1	2
2	4
3	8

         

x	y = (½)x
-3	8
-2	4
-1	2
0	1
1	1/2
2	1/4
3	1/8

EJERCICIOS PARA RESOLVER

     = 1/8

4^x+1 + 2^x+3 = 320

2x - 4².y = 0

x - y = 15

 2^{2. x + 5.y} = 2

 2^{-.x + y} = 8

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = log_b x, lo que permite obtener n.

(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).

Así, en la expresión 10² = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log₁₀ 100 = 2.

Propiedades De Las Funciones Logarítmicas

·      Dominio: R + 

·      Recorrido: R 

·      Es continua.

·      Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

·      Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

·      Creciente si a>1.

·      Decreciente si a<1.

·      Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

·         log₂ x = 1

                x = 2¹

                x = 2

·        log₂ x = 4

                x = 2⁴

                x = 16

·        log₂ x = - 2

                x = 2 ^-2 = 1 / 2² = 1 / 4

                x = 0,25

EJERCICIOS PARA RESOLVER

·         log 10·x = - 5

·         log_x 0,001 = - 3

·         log₃ (x + 5) =2

·         log x = 1

·         log x = 2

·         log x = - 4