MODELOS LINEALES Y CUADRATICOS

MODELOS LINEALES

Modelos lineales son aquellas situaciones que después de haber sido analizadas matemáticamente, se representan por medio de una función lineal. En algunos casos nuestro modelo coincide precisamente con una recta; en otros casos, a pesar de que las variables que nos interesan no pertenecen todas a la misma línea, es posible encontrar una función lineal que mejor se aproxime a nuestro problema, ayudándonos a obtener información valiosa.

Función lineal Decimos que una función es lineal si se puede expresar de la forma: f(x)= mx+b Donde m y b son constantes. La gráfica de una función lineal es una recta que tiene pendiente m e intersecta al eje y en el punto (0, b). A continuación se muestran tres funciones lineales con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones lineales.

Para determinar la ecuación de una recta es necesario encontrar los valores de m y b. Para ello podemos plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando dos parejas ordenadas distintas que pertenecen a la recta que estamos buscando.

Ecuación Lineal

Una ecuación en la variable x es lineal si puede escribirse en la forma ax + b = c, en donde a,b y c son números reales, con a ≠ .0. La ecuación lineal, en una variable, también se denomina ecuación de primer grado, ya que la potencia más alta en la variable es uno. 

Si la variable en una ecuación se reemplaza por un número real que hace que la proposición sea verdadera, entonces ese número es una solución de la ecuación. Por ejemplo, 8 es la solución de la ecuación y − 3 = ,5 ya que al reemplazar y con 8 se obtiene una proposición verdadera. 

Una ecuación se resuelve determinando su conjunto solución, el conjunto de todas las soluciones. El conjunto solución de la ecuación y − 3 = 5 es { }.8

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan un beneficio máximo?

1.    Elección de las incógnitas.

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

2.    Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

3.    Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

     

	pantalones	chaquetas	disponible
algodón	1	1,5	750
poliéster	2	1	1000

2x + y ≤ 1000x + 1.5y ≤ 750                            2x+3y ≤ 1500

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

4.    Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: x + 1.5y ≤ 750, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

0 + 1.5· 0 ≤ 750

0 ≤ 750 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2 · 0 + 0 ≤ 1 000

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5.    Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Estas son las soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6.    Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

F(x, y) = 50x + 40y

F(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20 000 €

F(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25 000 €

F(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28 750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1.    Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L₁ y L₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L₁ y de 30 minutos para el L₂; y un trabajo de máquina para L₁ y de 10 minutos para L₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L₁ y L₂, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

2.    Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

3.    En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

MODELOS CUADRÁTICOS

Formas de las ecuaciones cuadráticas:

Las ecuaciones cuadráticas pueden tomar tres formas útiles:

● La forma de vértice es y  a(x  h)2  k. Esta forma es útil para decir cómo la gráfica madre y  x2 ha sido transformada. El vértice (h, k) de la parábola es el punto más alto o más bajo. El factor a dice la cantidad de estiramiento vertical, y un valor negativo de a revela una reflexión alrededor del eje x.

● La forma factorizada es y  a(x  x1)(x  x2). De esta forma es fácil decir que las raíces de la ecuación son x1 y x2 y que la gráfica tiene intersecciones x en x1 y x2.

● La forma general es y  ax2  bx  c. Esta forma es útil para hallar que la intersección y es c—la parábola cruza el eje y en (0,c). Si la ecuación describe la altura de un objeto que sube o cae, entonces a es la mitad de la aceleración debida a la gravedad, b es la velocidad inicial y c es la altura inicial por encima del nivel del suelo.

Aquí tiene una ecuación escrita en estas tres formas y su gráfica.

Forma de vértice: y  2(x  1)2  8

Formal factorizada: y  2(x  3)(x  1)

Forma general: y  2x2  4x  6

Cambiar de formas

Debido a que las tres formas sirven diferentes propósitos, el convertir entre ellas es común. Las formas de vértice y factorizada pueden cambiarse a la forma general multiplicando binomios y combinando términos iguales. La forma general puede cambiarse a la forma de vértice completando el cuadrado. La forma general puede cambiarse a la forma factorizada por factorización. Tanto el multiplicar como el factorizar puede ser ayudado por un diagrama de rectángulo.

Modelo cuadrático: Decimos que el modelo es cuadrático si lo podemos expresar por medio de una función cuadrática. Un modelo cuadrático se puede determinar a través de una ecuación o bien, por medio de una gráfica que mejor aproxime los datos.

En algunos casos puede ocurrir que nuestro modelo coincida precisamente con una parábola, mientras que habrá otras ocasiones en las que no todos los datos pertenecen a la misma curva. En dicha situación trataremos de encontrar aquella parábola que mejor represente el modelo que estamos analizando.

Función cuadrática: Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma f(x)= ax2+bx+c donde a,b y c son constantes y a # 0 La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales. Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Representa gráficamente la función cuadrática:

y = −x² + 4x − 3

·         Vértice

X _v = − 4/ −2 = 2     y _v = −2² + 4· 2 − 3 = 1        V (2, 1)

·         Puntos de corte con el eje OX.

X² − 4x + 3 = 0        (3, 0)      (1, 0)

·         Punto de corte con el eje OY.

(0, −3)

EJERCICIOS PARA RESOLVER

Representa las funciones cuadráticas

•          y = x² + 2x + 1
•         y = x² + x + 1

Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

•   y = (x − 1)² + 1
•  y = 3(x − 1)² + 1
• y = 2(x + 1)² - 3
•  y = -3(x − 2)² − 5
• y = x² − 7x − 18
•  y = 3x² + 12x − 5