I UNIDAD: NÚMEROS REALES Y POLINOMIOS
POTENCIACIÓN
La potenciación es
una operación
matemática entre dos términos denominados:
base a y exponente n. Se escribe an y
se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado
a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n.
Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al
cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la
base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el
exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.
Se llama potencia a una expresión de la forma, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto al que pertenezca el exponente.
Exponente Entero
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras
algebraicas más abstractas, como pueden ser, por
ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación De Potencias De Igual Base
El producto de dos potencias que tienen la
misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la
suma de los exponentes, es decir:
Ejemplos:
Potencia De Una Potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de
ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
Debido a esto, la notación se reserva para significar
ya que se puede escribir sencillamente como
Potencia De Un Producto
La potencia de un producto es igual al
producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
 Si n es par.
Si n es impar.
|
Si la base a tiene inverso
multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que ,
entonces este se denota por
y el exponente se puede ampliar a todos
los números enteros:
Observación
División De Potencias De Igual Base
El cociente de dos potencias con la misma
base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la
diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor, esto es:
Ejemplo:
Potencia De Exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente
0 da como resultado la unidad (1), puesto que:
El caso particular de, en principio, no está definido.
Potencia De Un Cociente
La potencia de un cociente es igual al
cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso
multiplicativo ,
por lo que sólo se presentan exponentes de
números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:
Exponente Racional
La potenciación con exponente racional viene
de la necesidad de resolver una ecuación del tipo,
de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para
toda n si la base a es un número real positivo, por lo que
existe un teorema que dice:
|
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.
|
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el
exponente:
Observación
En general para las fracciones se define que:
Relación
Propiedades
Exponente Real
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones
racionales; esto
se recoge en la siguiente definición:
Dado un número real positivo a y un real b, límite de una sucesión de números racionales ,
entonces al existir el límite de la
sucesión ,
se define la potencia ab,
mediante la igualdad:
Los términos de la sucesión qn se consideran aproximaciones decimales
por defecto. Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números
racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.
Análogamente, se puede extender la potenciación a
funciones, usando la función
exponencial, y su
inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define:
De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los
números reales positivos R+, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la
función exponente g(x) números reales cualesquiera,
debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.
Propiedades
Si a > 1 con x < y, entonces ax < ay
Si 0 < a < 1 con x < y, entonces ax > ay
Si a < b con x > 0, se cumple ax < bx
Si a < b con x < 0, se verifica ax > bx 5
Considérese 0 como límite de la función
expo-potencial xx,
por la derecha, mediante una sucesión qn decreciente, entonces resulta.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
POTENCIACION
1.
Escribe en forma de una sola potencia:
·
33 · 34 · 3 = 38
·
57 : 53 = 54
·
(53)4 = 512
·
(5 · 2 · 3) 4 = 304
2.
Realizar las siguientes
operaciones con potencias:
·
(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512
·
(−8) · (−2)2 · (−2)0 (−2) = (−2)3 · (−2)2 · (−2)0 · (−2) = (−2)6 = 64
·
(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32
·
2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = 1/2
3.
Realizar las siguientes
operaciones con potencias:
·
(−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561
·
(−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=
(−3)3 · (−3) · (−3)2 · (−3)0 = (−3)6 = 729
·
(−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3
·
3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9
4.
Realiza las siguientes
operaciones con potencias:
EJERCICIOS PARA RESOLVER
POTENCIACION
1. Escribe en
forma de una sola potencia:
·
(34)4 =
·
[(53)4 ]2 =
·
(82)3
·
(93)2
· 25 ·
24 · 2 =
2. Realizar las
siguientes operaciones con potencias:
·
22 : 23 =
·
2−2 : 23 =
·
22 : 2−3 =
·
2−2 : 2−3 =
3. Realiza las
siguientes operaciones con potencias:
